 |
| Why 1 Is Not Prime Number in Bangla |
১ কি মৌলিক সংখ্যা?
উত্তর হলো, না। ১ মৌলিক সংখ্যা নয়।
মৌলিক সংখ্যার সংজ্ঞা
অক্সফোর্ড ডিকশনারির মতে মৌলিক সংখ্যার সংজ্ঞা হলো,
a number that can be divided exactly only by itself and 1, for example 7, 17 and 41
যার বাংলা অর্থ দাঁড়ায়,
মৌলিক সংখ্যা হলো এমন একটি সংখ্যা যা কেবলমাত্র ১ এবং ঐ সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়। যেমন ৭, ১৭, ৪১
এই সংজ্ঞাটি যে শুধু অক্সফোর্ড ডিকশনারিতে আছে এমনটা কিন্তু নয়। পৃথিবীর অনেক জার্নাল ও পাঠ্যপুস্তকেও এই সংজ্ঞাটি ব্যবহার করা হয়ে আসছে। ১ মৌলিক সংখ্যা কি না তার বিতর্ক কিন্ত শুরু হয় এই সংজ্ঞা থেকেই। কারণ, বহুল প্রচলিত এই সংজ্ঞা অনুযায়ী ১ একটি মৌলিক সংখ্যা।
স্বাভাবিকভাবেই তখন প্রশ্ন সামনে এসে যায় যে এই সংজ্ঞাটি কি ভুল?
না, এই সংজ্ঞাটি ভুল নয় তবে সম্পূর্ণ সঠিকও নয়।
Unique Factorization Theorem
১ মৌলিক কিনা তা প্রমাণের জন্য আমাদের
Unique Factorization Theorem প্রয়োজন হবে।
Unique Factorization Theorem কে বলা হয় The Fundamental Theorem of Arithmetic. অর্থাৎ এটি পাটিগণিতের গাঠনিক উপপাদ্য।
এই থিওরি যে কতটা গুরুত্বপূর্ণ তা বুঝানোর জন্য বলা হয়ে থাকে, কেউ যদি Unique Factorization Theorem কে ভুল প্রমা্ণ করতে পারে তবে সে এই হাজার বছরের লক্ষ লক্ষ গণিতবিদকে ভুল প্রমাণ করে দিবে। তার প্রমাণের সাথে সাথেই পৃথিবীতে নতুন গণিতের সূচনা হবে। যেহেতু ‘Mathematics is the mother of science’ তাই বিজ্ঞানের প্রায় সকল সূত্রের সঠিকতা নিয়ে প্রশ্ন উঠবে। বিজ্ঞানকে সাজাতে হবে আবার শুরু থেকে, নতুন করে। ঘটনাটা হবে, নিকলাস কোপারনিকাসের (Nicolaus Copernicus) বিজ্ঞানকে পাল্টে দেয়া সেই কথার মত, ‘মহাবিশ্বের কেন্দ্র সূর্য নয়।‘
সুতরাং বুঝাই যাচ্ছে এই থিউরিটি গণিত ও বিজ্ঞানে কতটা গুরুত্বপূর্ণ।
এখন আসি, এই থিওরিতে আসলে এমন কি বলা হয়েছে,
Every positive integer (except the number 1) can be represented in exactly one way apart from rearrangement as a product of one or more primes. (Source: Hardy and Wright, 1979)
অর্থাৎ,
প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে (১ বাদে) এক বা একাধিক মৌলিক (Prime) সংখ্যার গুণফল আকারে শুধুমাত্র একটি উপায়েই লেখা যায়।
এই থিওরিটি স্বতঃসিদ্ধ করতে দুইটি পয়েন্ট সিদ্ধ করতে হবে,
- মৌলিক সংখ্যার গুণফল
- শুধুমাত্র একটি উপায়েই (উপস্থাপন) সম্ভব
সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যদি এই ২টি বিষয় সিদ্ধ না করে তবে, থিওরিটি সঠিক নয়।
প্রমাণ
১ মৌলিক সংখ্যা হলে সমস্যা
থিওরিটি যাচাই করতে আমরা ২৪ সংখ্যাটিকে বিবেচনা করি,
২৪ এর উৎপাদকগুলো (factors) হলো ১,২,৩,৪,৬,১২,২৪
এখন ২৪ কে যদি মৌলিক সংখ্যার গুণফল আকারে লিখি তাহলে পাই ২৪= ২x২x২x৩
এখন মনে করি, ১ মৌলিক সংখ্যা।
তাহলে, ২৪ = ১x২x২x২x৩ এভাবেও উপস্থাপন করতে পারি আমরা।
আবার, ২৪ = ১x১x২x২x২x৩ এভাবেই লিখতে পারি।
অর্থাৎ ২৪ = ১
nx২x২x২x৩; {n:nεZ
+}
এটি যে শুধু ২৪ এর জন্য প্রযোজ্য তা কিন্ত নয়। এভাবে আমরা সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকেই অসীম (Infinite) উপায়ে লিখতে পারি।
সুতরাং ১কে মৌলিক সংখ্যা বিবেচনা করলে fundamental theorem of arithmetic এর শুধু প্রথম অংশটি সিদ্ধ হচ্ছে, দ্বিতীয় অংশটি সিদ্ধ হচ্ছে না।
এক্ষেত্রে প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে এক বা একাধিক মৌলিক সংখ্যার গুণফল আকারে লিখা যাচ্ছে ঠিকই, কিন্তু কেবলমাত্র একটি উপায়ে লিখা যাচ্ছে না। অসীম উপায়ে লিখা যাচ্ছে।
অর্থাৎ ১ কে মৌলিক সংখ্যা ধরলে থিওরিটাই ভুল প্রমাণিত হয়ে যাচ্ছে।
সমাধান
এমতাবস্থায়, গণিতবিদদের সামনে ২টি পথ ছিল।
- ১ কে মৌলিক সংখ্যার সেট থেকে বের করে দেয়া।
- ১ কে মৌলিক সংখ্যা হিসাবে মেনে নিয়ে Unique factorization theorem কে ভুল বলে মেনে নেয়া।
তবে স্বাভাবিকভাবেই ২ নং অপশনটি বেছে নেওয়া যেকোন গণিতবিদের জন্যই অনেক কষ্টকর ব্যপার। কারণ, এই থিওরির ওপর ভিত্তি করে সম্পূর্ণ পাটিগ্ণিত দাঁড়িয়ে। এই থিওরি ভুল মানে হলো পাটিগণিত পুরোটাই ভুল।
সুতরাং গণিতবিদরা ১ নং পথটি বেছে নিল এবং ১ কে মৌলিক নয় বলে ঘোষণা করা হল।