Skip to main content

বিভাজ্যতা (Divisibility Rules)

বিভাজ্যতা (Divisibility Rules)
বিভাজ্যতা (Divisibility Rules)


বিভিন্ন ভর্তি পরীক্ষা বা চাকুরীর নিয়োগ পরীক্ষায় গণিতের এমসিকিউ অংশ আমাদের সমস্যায় ভোগায়। তার মধ্যে অন্যতম হল, একটি বড় সংখ্যাকে 6, 7, 9, 11, 13 সহ বিভিন্ন সংখ্যায় ভাগ করা যায় কিনা তা বের করতে। আমরা সেই সংখ্যাকে এই 6, 7, 9, 11, 13 ইত্যাদি দিয়ে ভাগ করে সেটা বের করতে পারি, কিন্তু তা অনেক সময় সাপেক্ষ। সাধারণত এমসিকিউ পরীক্ষায় একটি অংক সমাধান করার জন্য এত সময় পাওয়া যায় না। এমসিকিউ পরীক্ষায় দ্রুত অল্প সময়ে এই সমস্যাবলির সমাধান করাই আমাদের এই অংশের আলোচনার বিষয়বস্তু।

2 দ্বারা বিভাজ্যতা

সংখ্যাটি শূন্য বা জোড় সংখ্যা হতে হবে।

3 দ্বারা বিভাজ্যতা

সংখ্যাটিতে বিদ্যমান অঙ্কগুলোর যোগফল 3 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে। যেমন: 42603 সংখ্যাটি 3 দ্বারা বিভাজ্য কারণ সংখ্যাটিতে অবস্থিত অঙ্কগুলোর সমষ্টি = 4+2+6+0+3 = 15, যা 3 দ্বারা বিভাজ্য। 1234 সংখ্যাটি 3 দ্বারা বিভাজ্য নয়, কারণ সংখ্যাটিতে অবস্থিত অঙ্কগুলোর সমষ্টি = 1+2+3+4 = 10, যা 3 দ্বারা বিভাজ্য নয়।

4 দ্বারা বিভাজ্যতা

সংখ্যাটিতে বিদ্যমান অংকগুলোর শেষ দুটি অংকের সমন্বয়ে গঠিত সংখ্যা 4 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে। যেমন: 526036 সংখ্যাটি 4 দ্বারা বিভাজ্য কারণ 36 সংখ্যাটি 4 দ্বারা বিভাজ্য। 436078 সংখ্যাটি 4 দ্বারা বিভাজ্য নয় কারণ 78 সংখ্যাটি 4 দ্বারা বিভাজ্য নয়।

বিকল্প উপায়

দশক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুন এর সাথে একক স্থানীয় অঙ্ক যোগ করলে যে সংখ্যাটি পাওয়া যায় তা 4 দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি 4 দ্বারা বিভাজ্য। উপরের দুটি উদাহরণ থেকে আমরা পাই, 526036 → 3×2+6=12 যা 4 দ্বারা বিভাজ্য। 436078 → 7×2+8=22 যা 4 দ্বারা বিভাজ্য নয়।

5 দ্বারা বিভাজ্যতা

একটি সংখ্যার শেষ অংক বা একক স্থানীয় অংক 5 বা 0 হলে সংখ্যাটি 5 দ্বারা বিভাজ্য। যেমন: 345, 1290, 725 সংখ্যাগুলো 5 দ্বারা বিভাজ্য।

6 দ্বারা বিভাজ্যতা

আমরা সবাই জানি, 6=2×3অর্থাৎ একটি সংখ্যা 2 এবং 3 দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি 6 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং একটি জোড় সংখ্যা 3 দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি 6 দ্বারা বিভাজ্য।

7 দ্বারা বিভাজ্যতা

এ প্রক্রিয়াটি মূলত দুইটি ধাপের সমন্বয়।

প্রথম ধাপ

একটি বড় সংখ্যার ডান থেকে বামে তিনটি করে অঙ্ক আলাদা করে নিম্নোক্ত উপায়ে বিভক্ত করতে হবে। 5634965 → 5 | 634 | 965 এখন জোড় সংখ্যক গ্রুপে প্রদত্ত সংখ্যার সমষ্টি থেকে বিজোড় সংখ্যক গ্রুপে প্রদত্ত সংখ্যার সমষ্টির পার্থক্য বের করতে হবে। 5 | 634 | 965 → (5+965) - 634 = 336

দ্বিতীয় ধাপ

এই ধাপটি দুইটি উপায়ে করা যায়।
  • প্রথম অঙ্ক আলাদা করে
  1. 336 → 3×2+36 = 42 = 6×7
  2. 336 → 36-3×5= 21 = 3×7
  • শেষ অঙ্ক আলাদা করে
  1. 336 → 33-6×2 = 21 = 3×7
  2. 336 → 33+6×5= 63 = 9×7
বি. দ্র.: প্রশ্নে প্রদত্ত সংখ্যাটি 2 অথবা 3 অঙ্কের হলে আমরা সরাসরি দ্বিতীয় ধাপ সম্পন্ন করব।

8 দ্বারা বিভাজ্যতা

সংখ্যাটিতে বিদ্যমান অংকগুলোর শেষ 3 টি অংকের সমন্বয়ে গঠিত সংখ্যা 8 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে। যেমন: 526192 সংখ্যাটি 8 দ্বারা বিভাজ্য কারণ 192 সংখ্যাটি 8 দ্বারা বিভাজ্য। 436228 সংখ্যাটি 8 দ্বারা বিভাজ্য নয় কারণ 228 সংখ্যাটি 8 দ্বারা বিভাজ্য নয়।

9 দ্বারা বিভাজ্যতা

সংখ্যাটিতে বিদ্যমান অঙ্কগুলোর যোগফল 9 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে। যেমন: 49635 সংখ্যাটি 9 দ্বারা বিভাজ্য কারণ সংখ্যাটিতে অবস্থিত অঙ্কগুলোর সমষ্টি = 4+9+6+3+5 = 27, যা 9 দ্বারা বিভাজ্য। 18345 সংখ্যাটি 9 দ্বারা বিভাজ্য নয় কারণ সংখ্যাটিতে অবস্থিত অঙ্কগুলোর সমষ্টি = 1+8+3+4+5 = 21, যা 9 দ্বারা বিভাজ্য নয়।

10 দ্বারা বিভাজ্যতা

শেষ বা একক স্থানীয় অঙ্ক 0 হবে।

11 দ্বারা বিভাজ্যতা

জোড় সংখ্যক অঙ্কগুলো থেকে প্রাপ্ত সংখ্যার সমষ্টি থেকে বিজোড় সংখ্যক অঙ্কগুলো থেকে প্রাপ্ত সংখ্যার সমষ্টির পার্থক্য 0 বা 11 এর গুণিতক হলে সংখ্যাটি 11 দ্বারা বিভাজ্য। 814671 → (8+4+7) - (1+6+1) = 11 965437 → (9+5+3) - (6+4+7) = 0 অর্থাৎ 814671 ও 965437 সংখ্যা দুইটি 11 দ্বারা বিভাজ্য।

12 দ্বারা বিভাজ্যতা

একক স্থানীয় অঙ্কটি বাকি সব অঙ্কের সমন্বয়ে গঠিত সংখ্যার দ্বিগুণ থেকে বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি 12 দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি 12 দ্বারা বিভাজ্য। 648 → 64×2-8 = 120; যা 12 দ্বারা বিভাজ্য।

13 দ্বারা বিভাজ্যতা

এ প্রক্রিয়াটি মূলত দুইটি ধাপের সমন্বয়।

প্রথম ধাপ

একটি বড় সংখ্যার ডান থেকে বামে তিনটি করে অঙ্ক আলাদা করে নিম্নোক্ত উপায়ে বিভক্ত করতে হবে। 70349864 → 70 | 349 | 864 এখন জোড় সংখ্যক গ্রুপে প্রদত্ত সংখ্যার সমষ্টি থেকে বিজোড় সংখ্যক গ্রুপে প্রদত্ত সংখ্যার সমষ্টির পার্থক্য বের করতে হবে। 70 | 349 | 864 → (70+864) - 349 = 585

দ্বিতীয় ধাপ

এই ধাপটি দুইটি উপায়ে করা যায়।
  • প্রথম অঙ্ক আলাদা করে
  1. 585 → 85-5×4 = 65 = 5×13
  2. 585 → 85+5×9= 130 = 10×13
  • শেষ অঙ্ক আলাদা করে
  1. 585 → 58+5×4 = 78 = 3×13
  2. 585 → 58-5×9= 13 = 1×13
বি. দ্র.: প্রশ্নে প্রদত্ত সংখ্যাটি 2 অথবা 3 অঙ্কের হলে আমরা সরাসরি দ্বিতীয় ধাপ সম্পন্ন করব।

14 দ্বারা বিভাজ্যতা

আমরা জানি, 14=2×7 অর্থাৎ একটি সংখ্যা 2 এবং 7 দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি 14 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং একটি জোড় সংখ্যা 7 দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি 14 দ্বারা বিভাজ্য।

15 দ্বারা বিভাজ্যতা

আমরা জানি, 15=3×5 অর্থাৎ একটি সংখ্যা 3 এবং 5 দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি 15 দ্বারা বিভাজ্য।

16 দ্বারা বিভাজ্যতা

নিম্নোক্ত দুটি ধারণার সমন্বয়ে একটি সংখ্যা 16 দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা আমরা বের করব।
  1. একটি সংখ্যার শেষ 4 অঙ্কের সমন্বয়ে গঠিত সংখ্যা 16 দ্বারা বিভাজ্য হলে সেই সংখ্যাটি 16 দ্বারা বিভাজ্য।
  2. একটি সংখ্যার শেষ দুই অঙ্কের সমন্বয়ে গঠিত সংখ্যার সাথে বাকি অঙ্কগুলোর সমন্বয়ে গঠিত সংখ্যার 4 গুণ এর যোগফল 16 দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি 16 দ্বারা বিভাজ্য।
উদাহরণস্বরূপ 4697248 সংখ্যাটি বিবেচনা করি।
  1. 4697248 → 7248
  2. 7248 → 48+72×4= 336 → 36+3×4= 48 = 4×12
সুতরাং, 4697248 সংখ্যাটি 16 দ্বারা বিভাজ্য।

17 দ্বারা বিভাজ্যতা

  1. একটি সংখ্যার শেষ দুই অঙ্কের সমন্বয়ে গঠিত সংখ্যা বাকি অঙ্কগুলোর সমন্বয়ে গঠিত সংখ্যার 2 গুণ থেকে বিয়োগ করে প্রাপ্ত সংখ্যা 17 দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি 17 দ্বারা বিভাজ্য।
  2. একটি সংখ্যার শেষ অঙ্কের 5 গুণ বাকি অঙ্কগুলোর সমন্বয়ে গঠিত সংখ্যা থেকে বিয়োগ করে প্রাপ্ত সংখ্যা 17 দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি 17 দ্বারা বিভাজ্য।
উদাহরণস্বরূপ 16745 সংখ্যাটি বিবেচনা করি।
  1. 16745 → 167×2-45= 289 → 2×2-89= -85 = -5×17
  2. 16745 → 1674-5×5 = 1649 → 164-5×9= 119 → 11-5×9= -34 = -2×17
সুতরাং, 16745 সংখ্যাটি 17 দ্বারা বিভাজ্য।

বিকল্প উপায়

উপরিল্লিখিত দুটি ধারণার সমন্বয়ে একটি সংখ্যা 17 দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা আমরা বের করব।
  1. 16745 → 167×2-45= 289
  2. 289 → 28-9×5 = -17
সুতরাং, 16745 সংখ্যাটি 17 দ্বারা বিভাজ্য।

18 দ্বারা বিভাজ্যতা

আমরা জানি, 18=2×9 অর্থাৎ একটি সংখ্যা 2 এবং 9 দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি 18 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং একটি জোড় সংখ্যা 9 দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি 18 দ্বারা বিভাজ্য।

19 দ্বারা বিভাজ্যতা

  1. একটি সংখ্যার শেষ দুই অঙ্কের সমন্বয়ে গঠিত সংখ্যার 4 গুণ এর সাথে বাকি অঙ্কগুলোর সমন্বয়ে গঠিত সংখ্যার যোগফল 19 দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি 19 দ্বারা বিভাজ্য।
  2. একটি সংখ্যার শেষ অঙ্কের 2 গুণের সাথে বাকি অঙ্কগুলোর সমন্বয়ে গঠিত সংখ্যার যোগফল 19 দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি 19 দ্বারা বিভাজ্য।
উদাহরণস্বরূপ 90155 সংখ্যাটি বিবেচনা করি।
  1. 90155 → 901+55×4= 1121 → 11+21×4= 95 = 5×19
  2. 90155 → 9015+5×2= 9025 → 902+5×2= 912 → 91+2×2= 95 = 5×19

বিকল্প উপায়

উপরিল্লিখিত দুটি ধারণার সমন্বয়ে একটি সংখ্যা 19 দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা আমরা বের করব।
  1. 90155 → 901+55×4= 1121
  2. 1121 → 112+1×2= 114 → 11+4×2 = 19
সুতরাং, 90155 সংখ্যাটি 19 দ্বারা বিভাজ্য।

20 দ্বারা বিভাজ্যতা

শেষ বা একক স্থানীয় অঙ্ক 0 এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক 0 কিংবা জোড় হলে সংখ্যাটি 20 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

21 দ্বারা বিভাজ্যতা

একটি সংখ্যা 3 এবং 7 দ্বারা বিভাজ্য হলে সেটি 21 দ্বারা বিভাজ্য।

22 দ্বারা বিভাজ্যতা

একটি সংখ্যা 2 এবং 11 দ্বারা বিভাজ্য হলে সেটি 22 দ্বারা বিভাজ্য।

23 দ্বারা বিভাজ্যতা

  1. একটি সংখ্যার শেষ অঙ্কের 7 গুণ এর সাথে বাকি অঙ্কগুলোর সমন্বয়ে গঠিত সংখ্যার যোগফল 23 দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি 23 দ্বারা বিভাজ্য।
  2. একটি সংখ্যার শেষ দুই অঙ্কের সমন্বয়ে গঠিত সংখ্যার 3 গুণ এর সাথে বাকি অঙ্কগুলোর সমন্বয়ে গঠিত সংখ্যার যোগফল 23 দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি 23 দ্বারা বিভাজ্য।
উদাহরণস্বরূপ 53176 সংখ্যাটি বিবেচনা করি।
  1. 53176 → 5317+6×7= 5359 = 535+9×7= 598 = 59+8×7= 115 = 5×23
  2. 53176 → 531+76×3= 759  → 7+59×3= 184 = 8×23
সুতরাং, 53176 সংখ্যাটি 23 দ্বারা বিভাজ্য।

24 দ্বারা বিভাজ্যতা

একটি সংখ্যা 3 এবং 8 দ্বারা বিভাজ্য হলে সেটি 24 দ্বারা বিভাজ্য।

25 দ্বারা বিভাজ্যতা

সংখ্যাটিতে বিদ্যমান অংকগুলোর শেষ দুই অঙ্ক 00, 25, 50 কিংবা 75 হলে সংখ্যাটি 25 দ্বারা বিভাজ্য।

26 দ্বারা বিভাজ্যতা

একটি সংখ্যা 2 এবং 13 দ্বারা বিভাজ্য হলে সেটি 26 দ্বারা বিভাজ্য।

27 দ্বারা বিভাজ্যতা

এ প্রক্রিয়াটি মূলত দুইটি ধাপের সমন্বয়।

প্রথম ধাপ

একটি বড় সংখ্যার ডান থেকে বামে তিনটি করে অঙ্ক আলাদা করে নিম্নোক্ত উপায়ে বিভক্ত করতে হবে। 2644542 → 2 | 644 | 542 এখন প্রতিটি গ্রুপে প্রদত্ত সংখ্যার সমষ্টি বের করতে হবে। 2 | 644 | 542 → 2 + 644 + 542 = 1188 → 1 | 188  → 1 + 188 = 189

দ্বিতীয় ধাপ

শেষ অঙ্কের 8 গুণ বাকি অঙ্কগুলোর সমন্বয়ে গঠিত সংখ্যা থেকে বিয়োগ। 189 → 18-9×8 = -54 = -2×27 সুতরাং, 2644542 সংখ্যাটি 27 দ্বারা বিভাজ্য। বি. দ্র.: প্রশ্নে প্রদত্ত সংখ্যাটি 2 অথবা 3 অঙ্কের হলে আমরা সরাসরি দ্বিতীয় ধাপ সম্পন্ন করব।

28 দ্বারা বিভাজ্যতা

একটি সংখ্যা 4 এবং 7 দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি 28 দ্বারা বিভাজ্য।

29 দ্বারা বিভাজ্যতা

একটি সংখ্যার শেষ অঙ্কের 3 গুণ এর সাথে বাকি অঙ্কগুলোর সমন্বয়ে গঠিত সংখ্যার যোগফল 29 দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি 29 দ্বারা বিভাজ্য। 151525 → 15152+3×5= 15167 → 1516+3×7= 1537 → 153+3×7= 174 → 17+3×4= 29 সুতরাং, 151525 সংখ্যাটি 29 দ্বারা বিভাজ্য।

30 দ্বারা বিভাজ্যতা

শেষ বা একক স্থানীয় অঙ্কে 0 আছে এমন একটি সংখ্যা 3 দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি 30 দ্বারা বিভাজ্য।
Labels: